平面向量学习笔记(大概?)

这篇文章咕了好久了,鬼知道为什么

本篇文章的目的只是为了更方便的学习 P2742 【模板】二维凸包 这道题目,如果有不详细或者错误之处,往各位大佬们多多指出

1 定义

向量:有大小,有方向 的量是向量,然而数学中研究的向量通常是 自由向量,即起点终点并不重要

向量的模:向量的长度被称为向量的模

零向量:模为 $0$ 的向量,零向量方向任意,记为 $\vec 0$ 或 $\mathbf 0$

单位向量:模为 $1$ 的向量是其在该方向的单位向量

2 平面向量基本定理

任何平面向量,都可以又两个不共线的向量 $\vec a$ 和 $ \vec b$ 表示出来

在同一平面类两个不共线的向量称为 基底

2.1 平面向量的坐标表示

如果使用分别于横纵坐标方向相同的两个单位向量 $\vec i,\vec j$ 作为一组基地,则所有向量与有序实数对一一对应

3 向量的加减

向量的加减主要有两种法则

  • 向量加法的三角形法则:$ \vec {AB} + \vec{BC} = \vec {AC} $
  • 向量加法的平行四边形法则:若两个向量共起点 $ \vec {AB} $ $ \vec {AC} $ ,则包含这两条边的平行四边形中的以 $A$ 开头的对角线就是这两个向量相加的结果

相减可以当作加上其相反数,也就是加上相反方向的 $\vec B$

3.1 坐标表示法

若有两个向量 $(x,y)$ $(a,b)$

则 $ (x,y) + (a,b) = (x + a, y +b)$

4 向量的各种乘

4.1 数乘

若有实数 $x$ ,则我们称 $x\vec{a}$ 这种运算为数乘

  • $x > 0$ 则 $\vec{a}$ 的长度乘于 $x$ ,$\vec{a}$ 的方向不变
  • $ x < 0$ 则 $\vec a$ 的长度乘于 $x$ ,$\vec a$ 的方向与原来相反
  • $x = 0$ 则结果为 $\mathbf 0$

数乘具有结合律和交换律

坐标表示法

$ k(a,b) = (ka, kb) $

4.2 数量积

咕了

坐标表示法

$ (n,m) \cdot (a,b) = na + mb $

4.3 向量积

咕了

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