题目连接: https://atcoder.jp/contests/agc034/tasks/agc034_f

道理我都懂，可是不看题解不到啊……

$$\newcommand \xor{\mathbin{\mathbf{xor}}}$$

1 题意

给定一个数字 $n$

对于 $0 \cdots 2^n – 1$ 中每个数字都有一个 $a_i$

现在有一个数 $X$, 一开始为 $0$

每一次操作会随机选择一个数字 $i$ （其中 $0 \leq i \leq 2^n – 1$，选中 $i$ 的概率为 $\frac{a_i}{\sum a}$）

然后令 $X = X \oplus i$

问使 $X=i$ 的期望次数

2 思路

先令
$$p_i=\frac{a_i}{\sum a}$$

令 $f_i$ 表示从 $i$ 到 $0$ 的期望次数，这和从 $0$ 到 $i$ 显然是一样的

接着有一个非常显然的式子

$$
\begin{aligned}
f_i &= f_{i \xor j} \times p_j + 1 ( i \neq 0 )\\
f_i – 1 &= f_{i \xor j } \times p_j ( i \neq 0 )
\end{aligned}
$$

然后我们就可以得到这个式子

$$ (f_0, f_1, f_2, \cdots, f_{2^{n-1}}, f_{2^n-1}) \oplus (p_0, p_1, p_2, \dots, p_{2^{n-1}}, p_{2^n}) \\
= ( x, f_1 – 1, f_2 – 1, \cdots, f_{2^{n-1}} – 1, f_{2^n-1} – 1 ) $$

但是 $x$ 是未知的

注意到 $\sum p = 1$ 所以左边右边的和是相等的

所以

$$
\begin{aligned}
x &= \sum_{i=0}^{2^n-1} f_i – \sum_{i=1}^{2^n-1} f_i – 1 \\
&= f_0 + 2^n – 1
\end{aligned}
$$

$$
(f_0, f_1, f_2, \cdots, f_{2^{n-1}}, f_{2^n-1}) \oplus (p_0, p_1, p_2, \dots, p_{2^{n-1}}, p_{2^n}) \\
= ( f_0 + 2^n – 1, f_1 – 1, f_2 – 1, \cdots, f_{2^{n-1}} – 1, f_{2^n-1} -1 )
$$

我们需要的使其中两个式子没有未知数

注意到如果使 $p_0 = p_0 – 1$

那么右边每一个数都会减去 $f_i$

即

$$
(f_0, f_1, f_2, \cdots, f_{2^{n-1}}, f_{2^n-1}) \oplus (p_0 – 1, p_1, p_2, \dots, p_{2^{n-1}}, p_{2^n}) \\ = ( 2^n – 1, – 1, – 1, \cdots, -1, -1 )
$$

于是就可以放进 FWT 里直接做

然后你就发现这东西跑出来是错的……

为什么呢

令

$$
\begin{aligned}
\mathbf{P} & = (p_0 – 1, p_1, p_2, \dots, p_{2^{n-1}}, p_{2^n}) \\
\mathbf{A} & = ( 2^n – 1, – 1, – 1, \cdots, -1, -1 )
\end{aligned}
$$

因为 $\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{A}$ FWT 后第一位都是 $0$

没有办法倒推出来 $f_0$

但是可以发现 $f$ 的值是可以平移的

即

$$ f_i + k = \sum_{i=0}^{2^n-1} p_j(f_{i \oplus j} + k) + 1 = \sum_{i=0}^{2^n-1} f_{i \oplus j} \times p_j + k + 1 $$

那么我们又知道 $f_i = 0$

所以将 $f$ 每一位都减去 $f_0$ 即可

3 Code

#include <cstdio> 

const int N = 1 << 20;
const int mod = 998244353;

int n;
int a[N], b[N], p[N], sum;

inline i
nt add( int a, int b ) { return ( a + b ) % mod; }
inline int mul( int a, int b ) { return ( 1LL * a * b ) % mod; }
inline void add_eq( int &a, int b ) { a = ( a + b ) % mod; }
inline void mul_eq( int &a, int b ) { a = ( 1LL * a * b ) % mod; }

int ksm( int a, int p ) {
    int res = 1;
    while( p ) {
        if( p & 1 )
            res = mul( res, a );
        a = mul( a, a );
        p >>= 1;
    }
    return res;
}
inline int inv( int a ) { return ksm( a, mod - 2 ); }

void XOR( int *f, int len, int x = 1 ) {
    for( int o = 2, k = 1; o <= len; o <<= 1, k <<= 1 ) {
        for( int i = 0; i < len; i += o ) {
            for( int j = 0; j < k; j ++ ) {
                add_eq( f[ i + j ], f[ i + j + k ] );
                f[ i + j + k ] = add( f[ i + j ], add( - f[ i + j + k ], - f[ i + j + k ] ) );
                mul_eq( f[ i + j ], x ); mul_eq( f[ i + j + k ], x );
            }
        }
    }
}

int main() {
#ifdef woshiluo
    freopen( "F.in", "r", stdin );
    freopen( "F.out", "w", stdout );
#endif
    scanf( "%d", &n );
    n = 1 << n;
    for( int i = 0; i < n; i ++ ) {
        scanf( "%d", &a[i] );
        sum += a[i];
        b[i] = mod - 1;
    }
    sum = inv(sum);
    for( int i = 0; i < n; i ++ ) {
        p[i] = mul( a[i], sum );
    }

    b[0] = n - 1; p[0] -= 1;
    XOR( b, n ); XOR( p, n );
    for( int i = 0; i < n; i ++ ){
        mul_eq( b[i], inv( p[i] ) );
    }
    XOR( b, n, inv(2) );
    for( int i = 0; i < n; i ++ ) {
        printf( "%d\n", ( ( add( b[i], -b[0] ) + mod ) % mod ) );
    }
}