我怎么也沦落到发这种文章了。
整理都整理完了,不发白不发。
1 定义
给定两点 F1,F2,令 ∣F1F2∣=2c,存在动点 P 满足 ∣PF1∣+∣PF2∣=2a(2a>2c),则 P 的轨迹曲线为椭圆。
2a=2c 时 P 的轨迹为线段,也就是线段 F1F2;
2a<2c 时 P 不存在。
- F1,F2 称为焦点。
第二定义:
准线:x=±ca2
令 P 到左准线距离为 d1,到右准线距离 d2。
有
d1PF1=d2PF2=e(e∈(0,1))
2 几何性质
2.1 标准式
焦点在 x 轴上:
a2x2+b2y2=1(a>b>0)
焦点在 y 轴上:
a2y2+b2x2=1(a>b>0)
2.2 一般式
Ax2+By2=1(A>0,B>0,A=B)
- 注意 A=B 不然就是圆了。
2.3 a, b, c 的关系
a2=b2+c2
2.4 范围
x∈[−a,a],y∈[b,−b]
- (a2−e2x02)
- 最大值:x0=0 时,取 a2;
- 最小值:x0=a 时,取 a2−c2=b2。
2.5 对称性
关于坐标轴,(0,0) 对称。
2.6 长短轴
- 长轴:2a
- 短轴:2b
- 焦距:2c
- 半焦距:c
2.7 离心率
表示椭圆的圆扁。
e=ac
- 显然 e∈(0,1) 因为 a>c
e→1,越扁。e2=a2c2=1–a2b2
2.7.1 求法
- e2=a2c2
- 构建 a,c 齐次式
- 特殊位置特殊值
- 焦点三角形底角 α,β 有 e=sinα+sinβsin(α+β)
注意范围
2.8 通径
过焦点,两端点位于椭圆上,垂直于 x 轴的线段。
即图中 PQ。
有 PQ=a2b2
3 焦点
3.1 焦点三角形
如图,以椭圆上一点 P 和焦点 F1F2 构成的三角形 △PF1F2 称为焦点三角形。
- ∣PF1∣+∣PF2∣=2a
- ∣PF1∣2+∣PF2∣2–2∣PF1∣∣PF2∣cosθ=∣F1F2∣2=2c2
- S△=21∣PF1∣∣PF2∣sinθ=b2tanθ
- 周长: 2(c+a)
3.1 延伸三角形
延伸焦点三角形中的非 F1F2 一边交于椭圆,为延伸三角形。
3.2 焦半径
就是 PF1,PF2
有 PF1=a+ex0 PF2=a–ex0
代入第二定义证明。
有 PF∈[a–c,a+c]。
4 方程
4.1 共焦点
与
a2x2+b2y2=1(a>b>0)
共焦点的椭圆可设
a2−kx2+b2−ky2=1(a>b>0,b2–k>0)
4.2 共离心率
与
a2x2+b2y2=1(a>b>0)
共焦点的椭圆可设
a2x2+b2y2=λ(a>b>0,λ>0)
5 公式
5.1 中点弦
若 M(x,y) 为椭圆弦 AB 的中点。
有 kAB⋅kOM=−a2b2
点差法:
有 A(x1,y1),B(x2,y2) 在椭圆上,即
{a2x12+b2y12=1a2x22+b2y22=1
两式做差有
a2x12–x22+b2y12–y22=0
整理可得
x1−x2y1−y2=−a2(y1+y2)b2(x1+x2)
5.2 弦长公式
y=kx+b 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)
有 ∣AB∣=1+k2∣x1–x2∣=1+k2(x1+x2)2−4x1x2=1+k21(y1+y2)2−4y1y2
5.3 切线方程
过椭圆上一点 (x0,y0) 切线方程为 a2x0x+b2y0y=1
过椭圆外一点 P(x0,y0) 的两条,和椭圆的两个切点 P1,P2 所在直线方程:
a2x0x+b2y0y=1
小猿的圆锥曲线书可以看一下
谢谢推荐
定义里 2a 和 2c 没有 latex!!
确实。改了。
通径错别字(另外通径应该是 2b^2 / a 吧。
fixed