高中数学学习笔记 – 椭圆

我怎么也沦落到发这种文章了。

整理都整理完了,不发白不发。

1 定义

给定两点 F1,F2F_1, F_2,令 F1F2=2c|F_1F_2| = 2c,存在动点 PP 满足 PF1+PF2=2a(2a>2c)|PF_1| + |PF_2| = 2a(2a>2c),则 P 的轨迹曲线为椭圆。

2a=2c2a = 2c 时 P 的轨迹为线段,也就是线段 F1F2F_1F_2
2a<2c2a < 2c 时 P 不存在。

  • F1,F2F_1, F_2 称为焦点。

第二定义:

准线:x=±a2cx = \pm \frac{a^2}{c}

PP 到左准线距离为 d1d_1,到右准线距离 d2d_2

PF1d1=PF2d2=e(e(0,1)) \frac{PF_1}{d_1} = \frac{PF_2}{d_2} = e ( e \in (0,1) )

2 几何性质

2.1 标准式

焦点在 xx 轴上:

x2a2+y2b2=1(a>b>0)\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ( a > b > 0 )

焦点在 yy 轴上:

y2a2+x2b2=1(a>b>0)\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 ( a > b > 0 )

2.2 一般式

Ax2+By2=1(A>0,B>0,AB) Ax^2 + By^2 = 1 (A>0,B>0,A \neq B)

  • 注意 ABA \neq B 不然就是圆了。

2.3 a, b, c 的关系

a2=b2+c2 a^2 = b^2 + c^2

2.4 范围

x[a,a],y[b,b]x \in [-a,a], y \in [b,-b]

  • (a2e2x02)(a^2-e^2x_0^2)
  • 最大值:x0=0x_0 = 0 时,取 a2a^2
  • 最小值:x0=ax_0 = a 时,取 a2c2=b2a^2-c^2=b^2

2.5 对称性

关于坐标轴,(0,0)(0,0) 对称。

2.6 长短轴

  • 长轴:2a2a
  • 短轴:2b2b
  • 焦距:2c2c
  • 半焦距:cc

2.7 离心率

表示椭圆的圆扁。

e=cae=\frac{c}{a}

  • 显然 e(0,1)e \in (0,1) 因为 a>ca > c

e1e \to 1,越扁。e2=c2a2=1b2a2e^2 = \frac{c^2}{a^2} = 1 – \frac{b^2}{a^2}

2.7.1 求法

  1. e2=c2a2e^2 = \frac{c^2}{a^2}
  2. 构建 a,ca,c 齐次式
  3. 特殊位置特殊值
  4. 焦点三角形底角 α,β\alpha, \betae=sin(α+β)sinα+sinβe = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha + \sin \beta}

注意范围

2.8 通径

过焦点,两端点位于椭圆上,垂直于 xx 轴的线段。

即图中 PQPQ

PQ=2b2aPQ = \frac{2b^2}{a}

3 焦点

3.1 焦点三角形

如图,以椭圆上一点 PP 和焦点 F1F2F_1F_2 构成的三角形 PF1F2\triangle PF_1F_2 称为焦点三角形。

  • PF1+PF2=2a|PF_1|+|PF_2| = 2a
  • PF12+PF222PF1PF2cosθ=F1F22=2c2|PF_1|^2 + |PF_2|^2 – 2|PF_1||PF_2| \cos \theta = |F_1F_2|^2 = 2c^2
  • S=12PF1PF2sinθ=b2tanθS \triangle = \frac{1}{2}|PF_1||PF_2| \sin \theta = b^2 \tan \theta
  • 周长: 2(c+a)2(c+a)

3.1 延伸三角形

延伸焦点三角形中的非 F1F2F_1F_2 一边交于椭圆,为延伸三角形。

  • 周长:4a4a

3.2 焦半径

就是 PF1,PF2PF_1,PF_2

PF1=a+ex0PF_1 = a + ex_0 PF2=aex0PF_2 = a – ex_0

代入第二定义证明。

PF[ac,a+c]PF \in [ a – c, a + c ]

4 方程

4.1 共焦点

x2a2+y2b2=1(a>b>0)\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ( a > b > 0 )

共焦点的椭圆可设

x2a2k+y2b2k=1(a>b>0,b2k>0)\frac{x^2}{a^2-k} + \frac{y^2}{b^2-k} = 1 ( a > b > 0, b^2 – k > 0 )

4.2 共离心率

x2a2+y2b2=1(a>b>0)\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ( a > b > 0 )

共焦点的椭圆可设

x2a2+y2b2=λ(a>b>0,λ>0)\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \lambda ( a > b > 0, \lambda > 0 )

5 公式

5.1 中点弦

M(x,y)M(x,y) 为椭圆弦 ABAB 的中点。

kABkOM=b2a2k_{AB} \cdot k_{OM} = -\frac{b^2}{a^2}

点差法:
A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1), B(x_2, y_2) 在椭圆上,即
{x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1\begin{cases} \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \\ \frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1 \end{cases}
两式做差有
x12x22a2+y12y22b2=0\frac{x_1^2 – x_2^2}{a^2} + \frac{y_1^2 – y_2^2}{b^2} = 0
整理可得
y1y2x1x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2)\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = -\frac{b^2(x_1+x_2)}{a^2(y_1+y_2)}

5.2 弦长公式

y=kx+by = kx + b 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1), B(x_2, y_2)

AB=1+k2x1x2=1+k2(x1+x2)24x1x2=1+1k2(y1+y2)24y1y2|AB| = \sqrt{1+k^2}|x_1 – x_2| = \sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2} = \sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}

5.3 切线方程

过椭圆上一点 (x0,y0)(x_0,y_0) 切线方程为 x0xa2+y0yb2=1\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1

过椭圆外一点 P(x0,y0)P(x_0,y_0) 的两条,和椭圆的两个切点 P1,P2P_1,P_2 所在直线方程:

x0xa2+y0yb2=1\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1

6 thoughts on “高中数学学习笔记 – 椭圆

  • 小猿的圆锥曲线书可以看一下

    1. 谢谢推荐

  • 定义里 2a 和 2c 没有 latex!!

    1. 确实。改了。

  • 通径错别字(另外通径应该是 2b^2 / a 吧。

    1. fixed

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