标签： 排列组合

Codeforces Contest #1312 解题报告 & 部分翻译

by woshiluo

比赛链接：Educational Codeforces Round 83 (Rated for Div. 2)

A Two Regular Polygons

1 题目大意

给你两个正多边形，一个 $n$ 条边 $A$ ，一个 $m$ 条边 $B$

问 $B$ 有没有可能被 $A$ 包含且所有顶点都与 $A$ 的某一个节点重合

有输出 YES ，否则输出 NO

2 Code

判 $n \bmod m = 0$ 就可以了

#include <cstdio>

int T;
int n, m;

int main() {
    scanf( "%d", &T );
    while( T -- ) {
        scanf( "%d%d", &n, &m );
        printf( "%s\n", ( n % m == 0 )? "YES": "NO" );
    }
}

B Bogosort

1 题目大意

给你一个长度为 $n$ 的序列 $a$, 你可以将 $a$ 重新排序，使其满足 $j – a_j \neq i – a_i$

输出任何一个即可

保证有解

$n \leq 100$

2 思路

$$
\begin{aligned}
j – a_j & \neq i – a_i \\
j – i & \neq a_j – a_i
\end{aligned}
$$

直接从大到小输出

3 Code

// Woshiluo Luo<[email protected]>  
// 2020/03/09 22:40:32 
#include <cstdio>
#include <cstring>

#include <algorithm>

template<class T>
T Min( T _a, T _b ) { return _a < _b? _a: _b; }
template<class T>
T Max( T _a, T _b ) { return _a > _b? _a: _b; }
template<class T>
T chk_Min( T &_a, T _b ) { return _a = (_a < _b? _a: _b); }
template<class T>
T chk_Max( T &_a, T _b ) { return _a = (_a > _b? _a: _b); }

const int N = 110;

int T;
int n;
int a[N];

int main() {
    scanf( "%d", &T );
    while( T -- ) {
        scanf( "%d", &n );
        for( int i = 1; i <= n; i ++ ) {
            scanf( "%d", &a[i] );
        }
        std::sort( a + 1, a + n + 1 );
        for( int i = n; i >= 1; i -- ) {
            printf( "%d ", a[i] );
        }
        printf( "\n" );
    }
}

C Adding Powers

1 题目大意

给你两个长度为 $n$ 的数列 $a,v$

其中 $a$ 通过输入提供，$v$ 初始所有值为 $0$

接下来，对于第 $i$ 次操作（从 $0$ 计数），你可以

  • 选择任意一个 $v_i$ 增加 $k^i$
  • 什么都不做

问你是否通过多次操作后，使 $v$ 变成 $a$

能输出 YES ，否则输出 NO

2 思路

首先对于每个数字 $a$, 考虑其是否可以变成多个 $k^i$ 的和（不能有重复的 $i$）

能的话算出来，看看有没有和之前重复的，有就不可能

不能的话直接没有可能

3 Code

// Woshiluo Luo<[email protected]>
// 2020/03/09 22:58:45
#include <cstdio>
#include <cstring>

#include <algorithm>

template<class T>
T Min( T _a, T _b ) { return _a < _b? _a: _b; }
template<class T>
T Max( T _a, T _b ) { return _a > _b? _a: _b; }
template<class T>
T chk_Min( T &_a, T _b ) { return _a = (_a < _b? _a: _b); }
template<class T>
T chk_Max( T &_a, T _b ) { return _a = (_a > _b? _a: _b); }

const int N = 110;

int T;
int n;
long long k;
bool vis[N];
long long a[N];

inline void wrong() {
    printf( "NO\n" );
}

inline void right() {
    printf( "YES\n" );
}

void calc() {
    for( int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        if( a[i] == 0 ) {
            continue;
        }
        long long cur = a[i];
        int cnt = 1;
        while( cur ) {
            int tmp = cur % k;
            if( tmp > 1 ) {
                wrong();
                return ;
            }
            if( tmp == 1 ) {
                if( vis[cnt] == false )
                    vis[cnt] = true;
                else {
                    wrong();
                    return ;
                }
            }
            cur /= k;
            cnt ++;
        }
    }
    right();
}

int main() {
    scanf( "%d", &T );
    while( T -- ) {
        memset( vis, 0, sizeof(vis) );

        scanf( "%d%lld", &n, &k );
        for( int i = 1; i <= n; i ++ ) {
            scanf( "%lld", &a[i] );
        }

        calc();
    }
}

D Count the Arrays

1 题目大意

你需要寻找这样的数列个数

  • 有 $n$ 个元素
  • 每个数字都是 $1$ 到 $m$ 之间的整数
  • 只有恰好一对数字相等
  • 数列先严格递增，再严格递减

个数对 $998244353$ 取模后输出

$2 \leq n \leq m \leq 2 \times 10^5$

2 思路

式子题，看 Code 去

3 Code

// Woshiluo Luo<[email protected]>
// 2020/03/09 23:21:18
#include <cstdio>
#include <cstring>

#include <algorithm>

template<class T>
T Min( T _a, T _b ) { return _a < _b? _a: _b; }
template<class T>
T Max( T _a, T _b ) { return _a > _b? _a: _b; }
template<class T>
T chk_Min( T &_a, T _b ) { return _a = (_a < _b? _a: _b); }
template<class T>
T chk_Max( T &_a, T _b ) { return _a = (_a > _b? _a: _b); }

const int N = 2e5 + 1e4;
const int mod = 998244353;

inline int add( int a, int b ) { return ( a + b ) % mod; }
inline int mul( int a, int b ) { return ( 1LL * a * b ) % mod; }
inline void add_eq( int &a, int b ) { a = ( a + b ) % mod; }
inline void mul_eq( int &a, int b ) { a = ( 1LL * a * b ) % mod; }

int ksm( int a, int p ) {
    int res = 1;
    while(p) {
        if( p & 1 )
            res = mul( res, a );
        a = mul( a, a );
        p >>= 1;
    }
    return res;
}

inline int get_inv( int a ) { return ksm( a, mod - 2 ); }

int n, m, sum, ans;
int fact[N], inv[N];

void init() {
    fact[1] = 1;
    for( int i = 2; i <= m; i ++ ) {
        fact[i] = mul( fact[ i - 1 ], i );
    }
    inv[m] = get_inv( fact[m] );
    for( int i = m - 1; i >= 1; i -- ) {
        inv[i] = mul( inv[ i + 1 ], i + 1 );
    }
    inv[0] = 1;
    fact[0] = 1;
}

// Get C^a_b
inline int C( int a, int b ) {
    if( a <= 0 )
        return 1;
    if( b <= 0 )
        return 1;
    return mul( mul( fact[b], inv[ b - a ] ), inv[a] );
}

int main() {
#ifdef woshiluo
    freopen( "d.in", "r", stdin );
    freopen( "d.out", "w", stdout );
#endif
    scanf( "%d%d", &n, &m );
    init();

    for( int i = n - 1; i <= m; i ++ ) {
        add_eq( sum, mul( C( n - 3, i - 2 ), mul( m - i + 1, n - 2 ) ) );
    }

    for( int i = 2; i < n; i ++ ) {
        add_eq( ans, mul( sum, C( i - 2, n - 3 ) ) );
    }

    printf( "%d\n", ans );
}

E Array Shrinking

1 题目大意

这好像是个原题

给你一个长度为 $n$ 的数列 $a$

如果 $a_i = a_{i + 1}$, 那么这两个数可以合并成 $a_i + 1$

问最小数列长度

$1 \leq a_i \leq 1000, 1 \leq n \leq 500$

2 思路

区间 dp

设 $f_{i,j}$ 为 $i$ 到 $j$ 最小长度

$merged_{i,j}$ 为 $i$ 到 $j$ 合并出来的数字

然后就是标准板子了

3 Code

// Woshiluo Luo<[email protected]>
// 2020/03/10 15:50:48
#include <cstdio>
#include <cstring>

#include <algorithm>

const int N = 510;

template<class T>
T Min( T _a, T _b ) { return _a < _b? _a: _b; }
template<class T>
T Max( T _a, T _b ) { return _a > _b? _a: _b; }
template<class T>
T chk_Min( T &_a, T _b ) { return _a = (_a < _b? _a: _b); }
template<class T>
T chk_Max( T &_a, T _b ) { return _a = (_a > _b? _a: _b); }

int n;
int a[N];
int f[N][N], merged[N][N];

int main() {
#ifdef woshiluo
    freopen( "e.in", "r", stdin );
    freopen( "e.out", "w", stdout );
#endif
    scanf( "%d", &n );
    for( int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        scanf( "%d", &a[i] );
        f[i][i] = 1;
        merged[i][i] = a[i];
    }
    for( int len = 2; len <= n; len ++ ) {
        for( int left = 1, rig = len; rig <= n; left ++, rig ++ ) {
            f[left][rig] = rig - left + 1;
            for( int mid = left; mid < rig; mid ++ ) {
                int &f_left = f[left][mid], &f_rig = f[ mid + 1 ][rig],
                &merge_left = merged[left][mid], &merge_rig = merged[ mid + 1 ][rig];
                chk_Min( f[left][rig], f_left + f_rig );
                if( f_left == 1 && f_rig == 1 && merge_left == merge_rig ) {
                    f[left][rig] = 1;
                    merged[left][rig] = merge_left + 1;
                }
            }
        }
    }
    printf( "%d\n", f[1][n] );
}

可重组合与不相邻组合

by woshiluo

可重组合

从 ${1, 2, 3 \cdots, n – 1, n}$ 中选出 $m$ 个元素，可以重复，有多少个不同的组合？

答案 $C_{n + m – 1}^{m}$

证明

显然，问题可以转换为 $m$ 个球放入 $n$ 个盒子，可以放无数个或者不放

即插入 $n – 1$ 个隔板，然后求全排列 $(m + n – 1)!$

但是隔板和球的顺序是无效的所以除去 $m! \times (n-1)!$

即
$$
\frac{(m + n – 1)!}{m! \times (n – 1)!} = C_{n + m -1}^m
$$

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