题目链接: https://www.luogu.org/problemnew/show/P1829

显然，题目所求为以下式子

以下均默认$n \leq m$

$$
\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m lcm(i,j)
$$

先来一些比较显然的东西
$$
\begin{aligned}
\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m lcm(i,j) & =
\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \frac{i \cdot j}{\gcd(i,j)}\\
& = \sum_{d = 1}^n d \sum_{i = 1}^{\frac{n}{d}} \sum_{j = 1}^{\frac{m}{d}} i \cdot j \cdot [\gcd(i,j) = 1]\\
\end{aligned}
$$
后面一段看起来还可以再加优化

狄利克雷卷积

数论函数

数论函数是指一类函数，其定义域是正整数，值域是一个数集

积性函数都是数论函数

常见的数论函数有

• $id(n) = n$ 单位函数，完全积性函数
• $\epsilon(n) = [n = 1]$ 元函数，完全积性函数
• $d(n)$ 约数个数，积性函数
• $\sigma(n)$ 约数和函数，积性函数
• $\mu(n)$ 莫比乌斯函数，积性函数
• $\varphi(n)$ 欧拉函数，积性函数

道理我都懂，考试时这东西能推？

本人菜鸡，有问题请指出

鉴于不同博客对于整除符号$|$的定义不同， 特此表明本博客的整除定义

$a | b$ 表明 $b$ 是 $a$ 的倍数

0x01 什么是反演

对于一个数列${f_n}​$,如果有另外一个数列${g_n}​$满足如下条件
$$
g_n = \sum_{i = 1}^n a_if_i
$$
反演的过程是用$ g_n$来表示 $f_n$
$$
f_n = \sum_{i = 0}^n b_ig_i
$$