Woshiluo's Notebook

题目链接: https://www.luogu.org/problemnew/show/P3809

后缀数组

后缀数组用于解决各种玄学字符串问题，准确来说，它是一种思想

基于后缀数组有很多好玩毒瘤的东西

目前已知的求后缀数组的方法有

• 倍增法 (本博客所讲述) — $O(n \log(n))$
• DC3 — $O(n)$
  • DC3 虽然从复杂度分析的角度而言比倍增快，但配合各种常数问题，在信息学竞赛中反而容易被卡……
• SA – IS 算法 — $O(n)$
  • 可以参考这篇 Luogu 日报: https://www.luogu.org/blog/ShadowassIIXVIIIIV/on-hou-zhui-shuo-zu-sa-is-suan-fa

因为我太菜了，所以我就讲倍增求法

继续阅读“SA 后缀数组入门 — Luogu P3809 【模板】后缀排序”

题目链接: https://oj.woshiluo.site/problem/2055 / https://www.luogu.org/problemnew/show/P5323

我看到题目的一瞬间

我是在学 oi 还是在学物理？

然后我仔细思考了一下，这两个镜子来回反射，您这是要求极限？

然后我仔细思考了一下

设 $f_i$ 为从 $1$ 到 $i$ 的透光率，$g_i$ 为从 $i$ 到 $1$ 的反光率

继续阅读“「BJOI2019」光线”

题目链接: https://www.luogu.org/problemnew/show/P1829

显然，题目所求为以下式子

以下均默认$n \leq m$

$$
\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m lcm(i,j)
$$

先来一些比较显然的东西
$$
\begin{aligned}
\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m lcm(i,j) & =
\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \frac{i \cdot j}{\gcd(i,j)}\\
& = \sum_{d = 1}^n d \sum_{i = 1}^{\frac{n}{d}} \sum_{j = 1}^{\frac{m}{d}} i \cdot j \cdot [\gcd(i,j) = 1]\\
\end{aligned}
$$
后面一段看起来还可以再加优化

继续阅读“Luogu P1829 [国家集训队]Crash的数字表格”

狄利克雷卷积

数论函数

数论函数是指一类函数，其定义域是正整数，值域是一个数集

积性函数都是数论函数

常见的数论函数有

• $id(n) = n$ 单位函数，完全积性函数
• $\epsilon(n) = [n = 1]$ 元函数，完全积性函数
• $d(n)$ 约数个数，积性函数
• $\sigma(n)$ 约数和函数，积性函数
• $\mu(n)$ 莫比乌斯函数，积性函数
• $\varphi(n)$ 欧拉函数，积性函数

继续阅读“狄利克雷卷积 && 杜教筛 入门 — P4213 【模板】杜教筛（Sum）”

道理我都懂，考试时这东西能推？

本人菜鸡，有问题请指出

鉴于不同博客对于整除符号$|$的定义不同， 特此表明本博客的整除定义

$a | b$ 表明 $b$ 是 $a$ 的倍数

0x01 什么是反演

对于一个数列${f_n}​$,如果有另外一个数列${g_n}​$满足如下条件
$$
g_n = \sum_{i = 1}^n a_if_i
$$
反演的过程是用$ g_n$来表示 $f_n$
$$
f_n = \sum_{i = 0}^n b_ig_i
$$

继续阅读“莫比乌斯反演入门 – [SDOI2015]约数个数和”

题目

实际上一开始看到题目我是打算写筛法的，后来发先是个除法分块秒切题目

显然

$$
\sum_{i = 1}^{n} f(i) = \sum_{i = 1}^{n} \lfloor \frac{i}{n} \rfloor
$$

除法分块即可

代码

#include <cstdio>

int n;
long long ans;

int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int left = 1, rig; left <= n; left = rig + 1){
        rig  = n / (n / left);
        ans += 1LL * (n / left) * (rig - left + 1);
    }
    printf("%lld", ans);
}

题目

一开始老是把思路和做​ 和​ 弄混……

然后陷入思维死角，感谢题解把我拉了出来​

$$
\sum_{i = 1}^{n} k \mod i \
= \sum_{i=1}^{n} k – i \times \lfloor \frac{k}{i} \rfloor \
= n \times k – \sum_{i=1}^{n} i \times \lfloor \frac{k}{i} \rfloor​
$$

然后就是除法分块，这个转化是真的要命QAQ

代码

#include <cstdio>
​
long long n,k,ans=0;
​
inline long long Min(long long a,long long b){return a<b?a:b;}
​
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ans=n*k;
    for(long long l=1,r;l<=n;l=r+1){
        if(k/l!=0) r=Min(k/(k/l),n);
        else r=n;
        ans-=(k/l)*(r-l+1)*(l+r)/2;
    }
    printf("%lld",ans);
}